מתמטיקה · מאמרי מחקר

Width distributions for rectangular boxes

Omri AbasORCID (Independent Researcher)

טיוטה מוקדמתללא שיפוט עמיתים(באנגלית)

תקציר

For a rectangular box with edges $a_1,a_2,a_3$ , the width in a uniform random direction $u \in S^2$ is $w=\sum_i a_i|u_i|$ . Under a bijective change of parameters this is also the projected area of a rectangular parallelepiped, whose distribution was derived by Walters. We give a direct co-area derivation that recasts the law as one global positive-part formula and integrates it to an elementary closed cumulative distribution function. The density is real-analytic except at the edge lengths, face diagonals and space diagonal. We classify every singularity as a corner, square-root fold, superposition or terminal jump and compute its coefficient. A Gaussian representation gives all moments from one generating function. The degree of the $n$ th cumulant in $π^{-1}$ is exactly $\lfloor n/2 \rfloor$ ; at every order the mean-normalised cumulant is a polynomial in two scale-invariant combinations of the intrinsic volumes, with explicit formulas given through fifth order. The first three cumulants determine the box, and we characterise the admissible triples. Beyond boxes, intrinsic volumes determine neither width variance nor brightness variance. The sign-pattern representation extends to bodies whose central symmetral is a zonotope, while the cellwise co-area method applies to every full-dimensional polytope.

גרסה זו תורגמה מהמקור באמצעות בינה מלאכותית.

עבור תיבה מלבנית (rectangular box) שאורכי מקצועותיה הם $a_1,a_2,a_3$ , הרוחב (width) בכיוון אקראי אחיד $u \in S^2$ הוא $w=\sum_i a_i|u_i|$ . תחת החלפת פרמטרים חד-חד-ערכית ועל (bijective change of parameters), זהו גם שטח ההיטל (projected area) של מקבילון מלבני (rectangular parallelepiped), שאת התפלגותו גזר וולטרס. אנו מציגים גזירה ישירה באמצעות נוסחת הקו-שטח (co-area), המנסחת מחדש את חוק ההתפלגות כנוסחה גלובלית אחת המבוססת על החלק החיובי (positive part), ומשלבים אותה לקבלת פונקציית התפלגות מצטברת (cumulative distribution function) סגורה ואלמנטרית. הצפיפות (density) היא אנליטית ממשית (real-analytic), למעט באורכי המקצועות, באלכסוני הפאות ובאלכסון המרחבי. אנו מסווגים כל סינגולריות (singularity) כפינה (corner), קפל שורש ריבועי (square-root fold), סופרפוזיציה (superposition) או קפיצה סופית (terminal jump), ומחשבים את המקדם שלה. ייצוג גאוסי (Gaussian representation) מספק את כל המומנטים (moments) מתוך פונקציה יוצרת (generating function) אחת. הדרגה של הקומולנט (cumulant) מסדר $n$ ב- $π^{-1}$ היא בדיוק $\lfloor n/2 \rfloor$ ; בכל סדר, הקומולנט המנורמל לפי התוחלת הוא פולינום בשני צירופים שאינם משתנים תחת שינוי קנה מידה (scale-invariant combinations) של הנפחים הפנימיים (intrinsic volumes), ונוסחאות מפורשות ניתנות עד סדר חמישי. שלושת הקומולנטים הראשונים קובעים את התיבה, ואנו מאפיינים את השלשות הקבילות. מעבר לתיבות, הנפחים הפנימיים אינם קובעים לא את שונות הרוחב (width variance) ולא את שונות הבהירות (brightness variance). הייצוג באמצעות תבניות סימנים (sign-pattern representation) מתרחב לגופים שהסימטריזציה המרכזית (central symmetral) שלהם היא זונוטופ (zonotope), ואילו שיטת הקו-שטח לפי תאים (cellwise co-area method) חלה על כל פוליטופ מממד מלא (full-dimensional polytope).

קריאת העבודה

הורדת PDF - טיוטה מוקדמת, ארכיב גרסה 1

פרטים

מילות מפתח: Width function, Mean width, Brightness, Projection body, Zonotope, Intrinsic volumes, Cosine transform, Geometric probability
MSC 2020: 52A22, 52A20, 52A38, 60D05
פורסם לראשונה: 4 באוגוסט 2026
גרסאות ארכיב: v1 (2026-08-04)

קישורים

אופן ציטוט

Text

Omri Abas (2026). Width distributions for rectangular boxes. arXiv:2608.03305. https://doi.org/10.5281/zenodo.21780025

BibTeX

@misc{abas2026,
  title = {{Width distributions for rectangular boxes}},
  author = {Omri Abas},
  year = {2026},
  doi = {10.5281/zenodo.21780025},
  eprint = {2608.03305},
  archivePrefix = {arXiv}
}