מתמטיקה · מאמרי מחקר

Random Width and Brightness: Polyhedral Density Theory, Reconstruction, and Gaussian Identifiability

Omri AbasORCID (Independent Researcher)

טיוטה מוקדמתללא שיפוט עמיתים(באנגלית)

תקציר

Let $U$ be uniformly distributed on the unit sphere. We develop a self-contained forward and inverse theory for the random width $w_K(U)$ and brightness $b_K(U)$ of three-dimensional convex bodies. For every full-dimensional polytope, a global spherical co-area formula expresses the width density as a finite sum of angular apertures determined by the normal fan of its difference body; in particular, the density is piecewise real analytic with a finite geometrically determined critical set. This theory yields exact densities for the width of the regular tetrahedron, resolving a question of Finch, and for the regular truncated octahedron, together with the tetrahedral brightness law and the equivalent rhombic-dodecahedral width law. On the inverse side, second- and third-order polarized cosine-transform moments reconstruct finite labelled direction systems whenever the observed triangles span the cycle space of the correlation graph; signed-graph switching describes the unavoidable ambiguity. In contrast, equal three-dimensional intrinsic volumes do not determine either the width law or the brightness law, even for centrally symmetric bodies. Removing the spatial rank constraint gives a dimension-free identifiability theorem for centered multivariate folded-normal vectors: pairwise absolute moments and an anchored family of triple absolute moments, comprising $|m-1|^2$ labelled observations for a complete correlation graph, determine the correlation matrix up to diagonal sign conjugacy without fourth-order moments. A harmonic decomposition further identifies the degree-two variance contribution as a constant multiple of the squared Frobenius norm of the traceless part of the weighted frame operator and explains why this contribution vanishes under irreducible symmetry.

גרסה זו תורגמה מהמקור באמצעות בינה מלאכותית.

יהי $U$ משתנה אקראי המתפלג באופן אחיד על ספירת היחידה (unit sphere). אנו מפתחים תורה ישרה והפוכה (forward and inverse theory), העומדת בפני עצמה, עבור הרוחב האקראי (random width) $w_K(U)$ והבהירות (brightness) $b_K(U)$ של גופים קמורים תלת-ממדיים. עבור כל פוליטופ מממד מלא (full-dimensional polytope), נוסחת קו-שטח ספירית גלובלית (global spherical co-area formula) מבטאת את צפיפות הרוחב כסכום סופי של מפתחים זוויתיים (angular apertures) הנקבעים על ידי המניפה הנורמלית (normal fan) של גוף ההפרשים (difference body) שלו; בפרט, הצפיפות היא אנליטית ממשית למקוטעין (piecewise real analytic), עם קבוצה קריטית סופית הנקבעת גאומטרית. תורה זו מניבה צפיפויות מדויקות לרוחב של הארבעון המשוכלל (regular tetrahedron), ובכך פותרת שאלה של פינץ', ולרוחב של התמניון הקטום המשוכלל (regular truncated octahedron), לצד חוק התפלגות הבהירות של הארבעון וחוק התפלגות הרוחב השקול של התריסרון המעוין (rhombic dodecahedron). בצד ההפוך, מומנטים מקוטבים מסדר שני ושלישי של התמרת הקוסינוס (polarized cosine-transform moments) משחזרים מערכות סופיות של כיוונים מתויגים כל אימת שהמשולשים הנצפים פורשים את מרחב המעגלים (cycle space) של גרף המתאמים (correlation graph); מיתוג בגרף מסומן (signed-graph switching) מתאר את העמימות הבלתי נמנעת. לעומת זאת, שוויון בנפחים הפנימיים התלת-ממדיים (three-dimensional intrinsic volumes) אינו קובע את חוק התפלגות הרוחב או את חוק התפלגות הבהירות, אפילו עבור גופים בעלי סימטריה מרכזית. הסרת אילוץ הדרגה המרחבית (spatial rank constraint) מניבה משפט זיהוי שאינו תלוי בממד (dimension-free identifiability theorem) עבור וקטורים נורמליים מקופלים רב-משתניים ממורכזים (centered multivariate folded-normal vectors): מומנטים מוחלטים בזוגות (pairwise absolute moments) ומשפחה מעוגנת של מומנטים מוחלטים בשלשות (triple absolute moments), הכוללים $|m-1|^2$ תצפיות מתויגות עבור גרף מתאמים מלא, קובעים את מטריצת המתאמים עד כדי הצמדה במטריצת סימנים אלכסונית (diagonal sign conjugacy), ללא מומנטים מסדר רביעי. פירוק הרמוני (harmonic decomposition) מזהה נוסף על כך את התרומה לשונות מדרגה שתיים ככפולה קבועה של ריבוע נורמת פרובניוס (Frobenius norm) של החלק חסר העקבה (traceless part) של אופרטור המסגרת המשוקלל (weighted frame operator), ומסביר מדוע תרומה זו מתאפסת תחת סימטריה אי-פריקה (irreducible symmetry).

קריאת העבודה

הורדת PDF - טיוטה מוקדמת, ארכיב גרסה 1

פרטים

מילות מפתח: Random width, Brightness, Polytope, Spherical co-area formula, Cosine transform, Finite tomography, Signed graphs, Multivariate folded normal distribution
MSC 2020: 52A22, 52B10, 60D05, 05C22, 62H05
פורסם לראשונה: 10 באוגוסט 2026
גרסאות ארכיב: v1 (2026-08-10)

קישורים

אופן ציטוט

Text

Omri Abas (2026). Random Width and Brightness: Polyhedral Density Theory, Reconstruction, and Gaussian Identifiability. arXiv:2609.26202. https://doi.org/10.5281/zenodo.21870870

BibTeX

@misc{abas2026,
  title = {{Random Width and Brightness: Polyhedral Density Theory, Reconstruction, and Gaussian Identifiability}},
  author = {Omri Abas},
  year = {2026},
  doi = {10.5281/zenodo.21870870},
  eprint = {2609.26202},
  archivePrefix = {arXiv}
}